2015年國家公務(wù)員考試行測提分利器之剩余定理

　　國家公務(wù)員考試和多省公務(wù)員考試的數(shù)學運算部分，很多考生首選整除思想，但是有些題目我們會發(fā)覺題目中的被除數(shù)不滿足能被整除的條件，即有余數(shù)，這類題目稱為剩余問題，常見形式為：一個數(shù)同時滿足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿足這樣條件的數(shù)是多少(有幾個)。對于這類題目我們在沒有學習剩余定理之前往往只能采用枚舉法或者是代入排除法來解決。如果問這個數(shù)是多少，顯然大家習慣用代入排除法;如果問有幾個，就要用枚舉法了，而這種方法是比較繁瑣的。在行測考試中時間對大家來說是最重要的，因此掌握此種題型的解題方法對大家在做題準確率以及做題速度上都有很大幫助。下面給大家講解一下剩余定理�？疾炷男╊}型以及其快速解題方法。

　　一、剩余定理的特殊情況

　　(1)余同(余數(shù)相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)

　　例題1：三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，則符合條件的自然數(shù)P有多少個?

　　A.120 B.122 C.121 D.123

　　【答案】B。

　　【解析】一個數(shù)除以4、5、6均余2，余數(shù)相同，屬于余同，因此這個數(shù)滿足通項公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，當n=2時，N=122,選擇B項。

　　(2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)+和(除數(shù)加余數(shù)的和)

　　例題2：三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，則符合條件的自然數(shù)P有多少個?

　　A.3 B.2 C.4 D.5

　　【答案】D。

　　【解析】此題除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2……)，因此在0至999以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8，218，428，638，848五個數(shù)，因此選D。

　　(3)差同(除數(shù)減余數(shù)之差相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)-差(除數(shù)減余數(shù)的和)

　　例題3：某校三年級同學，每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，問這個年級至少有多少人?

　　A.206 B.202 C.237 D.302

　　【答案】A。

　　【解析】

　　方法一：代入排除法(略)。

　　方法二：通過觀察發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為4，所以此數(shù)滿足：N=210n-4(n=1,2,3……)，當n=1時，算得次數(shù)為206，因此選A。

　　二、剩余定理的一般情況

　　例題4：一個自然數(shù)P同時滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個?

　　A.10 B.11 C.12 D.13

　　【答案】B。

　　【解析】先取其中兩個條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時除以3，等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1，即n=1,代入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數(shù)為7，則同時滿足上述兩條件的數(shù)的通項公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個條件的數(shù)P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時除以未知數(shù)較小的系數(shù)7，則左邊余數(shù)為5n，等式右邊的余數(shù)是4，也可認為余數(shù)是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時滿足題干中三個條件的最小的自然數(shù)P=67，則滿足題干三個條件的數(shù)的通項公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個數(shù)。

　　例題5：一個自然數(shù)P同時滿足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個?

　　A.9 B.10 C.11 D.12

　　【答案】D。

　　【解析】通過觀察會發(fā)現(xiàn)前兩個條件屬于差同，所以滿足前兩個條件的數(shù)的通項公式P=77n-6(n=0,1,2,3……)，即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合題意的數(shù)共有13-2+1=12個數(shù)，因此選D。

　　在剩余問題的解決過程中，遇到一些余數(shù)較為特殊的情況用剩余定理能夠很好地解決;但是在和不同、差不同、余不同的情況下，可以用同余的性質(zhì)來做，主要思路是先找滿足題干中兩個條件的通項公式，將三者條件轉(zhuǎn)化成二者條件，然后再次利用同余特性加以解決即可。在學習的過程中不僅僅要學習方法，也要多觀察題目，找到更簡單的思路。

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