海文名師：2008年的數(shù)學(xué)將會延續(xù)今年的趨勢

　　主持人：李老師的分布解題思路可以給許多網(wǎng)友提供一下借鑒，那其他老師呢？

　　李永樂：我講一道選擇題吧，今年代數(shù)的選擇題有這樣一道題，給出的A和B兩個矩陣，要判斷這兩個矩陣，是不是合同，是不是相似。那么像這道題，主要是考察同學(xué)判斷相似和判斷合同的基本方法，要判斷相似的話，我想一個就是要用相似的必要條件來進行排除。那么像這道考題的話，給出的這兩個矩陣不相似是很容易看出來的，因為A和B這兩個矩陣，他們主對角線元素的和不相等。所以這樣兩個矩陣肯定是不相似的，所以這個不相似應(yīng)該很容易看出來。那么它們倆合同不合同呢？兩個矩陣合同不合同，就是要檢查它們的二次型的正負慣性指數(shù)，不是相同。那么要檢查二次型正慣性指數(shù)，和負慣性指數(shù)，我想應(yīng)當(dāng)有兩個基本的方法，一個方法就是用配方法，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型，然后讀正慣性指數(shù)，和負慣性指數(shù)。另外一個方法就是求出它們的特征值。根據(jù)特征值正負的情況，來決定正負慣性指數(shù)，那么作為這道考題，矩陣A的特征值很容易求，我想大家具體求一下，這道題矩陣A的特征值應(yīng)當(dāng)是3、3、0。這樣表明矩陣A正慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是2，負慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是0。這和矩陣B二次型正慣性指數(shù)2，負慣性指數(shù)0是完全一樣的。既然是這樣的A和B這兩個正負慣性指數(shù)一定是相同的，所以對這道考題來說，正確的選項應(yīng)當(dāng)是B，合同但是不相似。

圖二

　　袁蔭棠：數(shù)一和數(shù)三的概率題，一共是五個題，四個題都涉及到連續(xù)性隨機變量，連續(xù)性隨機變量就涉及到積分的問題，多數(shù)情況下，如果我們遇到連續(xù)性隨機變量，需要求概率和積分的時候，最好事先畫一個草圖，把草圖畫出來以后，那么就有利于幫助我們正確的來確定積分線，或者正確的計算相應(yīng)的概率。比如說第23題，設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=2-x-y，0小于x小于1，0小于y小于1。f（x，y）=0，其他，（1）求P（X大于2Y）。（2）求Z=X+Y的概率密度fz（z）（圖二）。這個題目是二維連續(xù)型隨機變量有關(guān)的題目，這第一問要求概率，求一個跟二維連續(xù)型隨機變量有關(guān)的概率，那么實際上就是在對這個聯(lián)合密度，在一個相應(yīng)的區(qū)域上的重積分。所以這樣我們必須把這個圖畫出來，這樣才好將二重積分畫成單積分，如圖，首先把X等于2Y這條線畫出來，那么X大于2Y就應(yīng)該是圖中陰影部分。所以第一問，這個概率就是PX大于2Y的這個概率，這個最基本的辦法就是求概率在相應(yīng)熟慮上的積分，應(yīng)該是聯(lián)合密度XY，積分的區(qū)域，就是X大于2Y的這個區(qū)域，所以就是G，G這個區(qū)域是三個條件，一個是x要大于2y，同時還要有x在（0，1）之間，那么y也要在（0，1）之間，把重積分化成單積分，有這個圖就幫助我們正確的確定積分線。那么第二問仍然是個基本題，就是求兩個隨機變量函數(shù)的分布。兩個隨機變量的函數(shù)，考得比較多的就是兩個隨機變量的和，差，還有絕對值，最大值、最小值等等。還考過兩個隨機變量的乘積。那么兩個隨機變量和的分布，最基本的方法是求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)。不管是一維隨機變量，還是二維隨機變量都應(yīng)該先求分布函數(shù)，也就是要計算這樣一個概率：F（z）=P（Z小于等于z）=P（X+Y小于等于z）。那么求這個分布函數(shù)，仍然是計算概率，就是計算X加Y小于等于Z這個概率，計算這個事件的概率，跟第一問是同樣的方法，要對聯(lián)合分布密度，在這個區(qū)域上進行一個二重積分，然后再把它化成單積分，然后具體的去做。那么這個題要注意的是什么呢，要注意的就是這個積分在z的不同的取值范圍里面積分是不同的，要分段來做，Z在（0，1）之間，和Z在（1，2）之間這個積分的區(qū)域是不同的。如果是熟練的，準(zhǔn)確的能夠把積分算出來，那么這個題沒有什么方法上的難度。但是要花比較多的時間，但是我們除了最基本的分布函數(shù)法以外，還有一個方法，對于兩個隨機變量函數(shù)之和，我們還有一個特殊的方法，就是卷積公式，大家比較熟悉的是兩個獨立的隨機變量之和的卷積公式，不獨立和的卷積公式大家會運用的話，這個和的密度的計算是很簡單的。但是要注意積分線正確的選取。直接求密度，這是公式，我先把公式寫出來，所以這個分?jǐn)?shù)肯定有，下面要把聯(lián)合密度，要換成具體的表達式，那么f（x，z-x）僅在某一個區(qū)域上不為零，所以要把f（x，z- x）要是換成具體的表達式的時候，對x的積分線不是負無窮到正無窮。這個時候要特別注意積分線的選擇，x，z-x都要在（0，1）內(nèi)，這個z應(yīng)該是x到1+x之間，這個時候要用卷積公式應(yīng)該再畫另外一個圖，如圖，這個區(qū)域應(yīng)該是平行四邊形，所以就要分段，當(dāng)z在（0，1）內(nèi)的時候，x應(yīng)該是從零積到z=x這條線，當(dāng)是z是（1，2）的時候，x應(yīng)該是z-1積到1，所以寫的時候要分段。最后求出來的密度函數(shù)應(yīng)該是三段。如果把圖畫得準(zhǔn)確的話，那么對于幫助我們做題很有意的。另外選擇你自己熟悉的方法，正確率會提高，選擇比較簡便的方法，會節(jié)約你解題的時間。

2007年考研試題及答案匯總專題