2011年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學考試大綱--數學二

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　　考試科目：高等數學、線性代數

　　考試形式和試卷結構

　　一、試卷滿分及考試時間

　　試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘.

　　二、答題方式

　　答題方式為閉卷、筆試.

　　三、試卷內容結構

　　高等教學　 78%

　　線性代數　 22%

　　四、試卷題型結構

　　試卷題型結構為：

　　單項選擇題 8小題，每小題4分，共32分

　　填空題 6小題，每小題4分，共24分

　　解答題(包括證明題) 9小題，共94分

　　高 等 數 學

　　一、函數、極限、連續(xù)

　　考試內容

　　函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形 初等函數 函數關系的建立

　　數列極限與函數極限的定義及其性質 函數的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關系 無窮小量的性質及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限：

　　函數連續(xù)的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

　　考試要求

　　1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系.

　　2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.

　　3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.

　　4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.

　　5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.

　　6.掌握極限的性質及四則運算法則.

　　7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

　　8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.

　　9.理解函數連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數間斷點的類型.

　　10.了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.

　　二、一元函數微分學

　　考試內容

　　導數和微分的概念　導數的幾何意義和物理意義　函數的可導性與連續(xù)性之間的關系　平面曲線的切線和法線　導數和微分的四則運算　基本初等函數的導數　復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法　高階導數　一階微分形式的不變性　微分中值定理　洛必達(L'Hospital)法則　函數單調性的判別　函數的極值　函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線　函數圖形的描繪　函數的最大值與最小值　弧微分　曲率的概念　曲率圓與曲率半徑

　　考試要求

　　1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系.

　　2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.

　　3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.

　　4.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.

　　5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西( Cauchy )中值定理.

　　6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.

　　7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.

　　8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區(qū)間 內，設函數 具有二階導數.當 時， 的圖形是凹的;當 時， 的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形.

　　9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.

　　三、一元函數積分學

　　考試內容

　　原函數和不定積分的概念　不定積分的基本性質　基本積分公式　定積分的概念和基本性質　定積分中值定理　積分上限的函數及其導數　牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分　反常(廣義)積分　定積分的應用

　　考試要求

　　1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念.

　　2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

　　3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.

　　4.理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式.

　　5.了解反常積分的概念，會計算反常積分.

　　6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數平均值.

　　四、多元函數微積分學

　　考試內容

　　多元函數的概念　二元函數的幾何意義　二元函數的極限與連續(xù)的概念　有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質　多元函數的偏導數和全微分 多元復合函數、隱函數的求導法　二階偏導數　多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值　二重積分的概念、基本性質和計算

　　考試要求

　　1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義.

　　2.了解二元函數的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質.

　　3.了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.

　　4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

　　5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標).

　　五、常微分方程

　　考試內容

　　常微分方程的基本概念　變量可分離的微分方程　齊次微分方程　一階線性微分方程　可降階的高階微分方程　線性微分方程解的性質及解的結構定理　二階常系數齊次線性微分方程　高于二階的某些常系數齊次線性微分方程　簡單的二階常系數非齊次線性微分方程　微分方程的簡單應用

　　考試要求

　　1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

　　2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程.

　　3.會用降階法解下列形式的微分方程： 和 .

　　4.理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理.

　　5.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程.

　　6.會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程.

　　7.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.

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